Gast-ID: h0qib5C3
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Zylindervolumen optimieren für maximales Volumen


Das maximale Volumen eines Zylinders soll erreicht werden. Die Gesamtheit der Flächen aus Böden und Mantel soll dabei als fest vorgegeben betrachtet werden. Wie verhalten sich der Radius r und die Höhe h zueinander, wenn diese Forderungen erfüllt sind?

Beantwortet 5 Dez 2014 von pleindespoir
Bearbeitet 6 Dez 2014 von mathegigant
$$r =2h$$
Beantwortet 5 Dez 2014 von pleindespoir
$$r=π\sqrt h$$
Beantwortet 5 Dez 2014 von pleindespoir
Bearbeitet 5 Dez 2014 von pleindespoir
$$ h=2 r$$
Kommentiert 5 Dez 2014 von pleindespoir
Bearbeitet 5 Dez 2014 von pleindespoir
$$ V = h ·\pi·r^2 $$$$ A = 2·\pi·r·h + 2·\pi·r^2 $$$$ A -2·\pi·r^2= 2·\pi·r·h  $$$$ \frac{A -2·\pi·r^2}{  2·\pi·r }= h  $$$$ h=\frac{A }{  2·\pi·r } -r $$$$ V =(\frac{A }{  2·\pi·r } -r )·\pi·r^2 $$$$ V =\frac{A ·\pi·r^2}{  2·\pi·r } -\pi r^3 $$$$ V =\frac{A ·r}{  2 } - \pi r^3 $$$$ V' =\frac{A }{  2 } -3 \pi r^2 $$$$ V' =0 $$$$  3 \pi r^2 =\frac{A }{  2 } $$$$  r =\sqrt{\frac{A }{ 6 \pi} }$$$$ h=\frac{A }{  2·\pi·r } -r $$
$$ h=\frac{6 \pi r^2 }{  2·\pi·r } -r $$$$ h=\frac{6 r }{  2 } -r $$$$ h=3 r -r $$$$ h=2 r $$
Beantwortet 5 Dez 2014 von pleindespoir
Bearbeitet 6 Dez 2014 von pleindespoir
$$ h=\pi\sqrt{r}$$
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